Adiabatic quantum computing with parameterized quantum circuits

Adiabatic quantum computing is a universal model for quantum computing. Standard error correction methods require overhead that makes their application prohibitive for near-term devices. To mitigate the limitations of near-term devices, a number of hybrid approaches have been pursued in which a parameterized quantum circuit prepares and measures quantum states and a classical optimization algorithm minimizes an objective function that encompasses the solution to the problem of interest. In this work, we propose a different approach starting by analyzing how a small perturbation of a Hamiltonian affects the parameters that minimize the energy within a family of parameterized quantum states. We derive a set of equations that allow us to compute the new minimum by solving a constrained linear system of equations that is obtained from measuring a series of observables on the unperturbed system. We then propose a discrete version of adiabatic quantum computing which can be implemented with NISQ devices while at the same time is insensitive to the initialization of the parameters and to other limitations hindered in the optimization part of variational quantum algorithms. We also derive a lower bound on the number of discrete steps needed to guarantee success. We compare our proposed algorithm with the Variational Quantum Eigensolver on two classical optimization problems, namely MaxCut and Number Partitioning, and on a quantum-spin configuration problem, the Transverse-Field Ising Chain model, and confirm that our approach demonstrates superior performance.Comment: 22 pages, 8 figures; v2 minor correction

Quantum Doubles and Anyonic Systems

Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία χωρίζεται σε τρία κύρια μέρη. Στο πρώτο μέρος, παρουσιάζουμε τους δυο θεμελιώδεις μετασχηματισμούς μεταξύ ανυονίων, την μεταμόρφωση ροής και το φαινόμενο Aharonov-Bohm. Εισάγουμε το braid group, τις βασικές σχέσεις της ομάδας και την αναπαράσταση του μέσω του μοντέλου ανυονίων πεπερασμένης ομάδας. Έπειτα, κατασκευάζουμε το μοντέλο ανυονίων για την ομάδα D5, προσδιορίζουμε τους γεννήτορες του modular group για αυτη την θεωρία (S και T πίνακες) και δίνουμε ένα απλό παράδειγμα σκέδασης ανυονίων. Στο δεύτερο μέρος, εστιάζουμε στο υπολογιστικό κομμάτι των ομάδων/μοντέλων, με στόχο να εξάγουμε καθολική κβαντική υπολογιστική. Ορίζουμε την κωδικοποίηση ενός qubit στον χώρο σύντηξης και μετά κατασκευάζουμε τους γεννήτορες του braid group για διάφορα ανυονικά μοντέλα, συμπεριλαμβανομένου του D(D5). Καθιερώνουμε γενικά πρωτόκολλα κωδικοποίησης και επεξεργασίας της πληροφορίας με ανυόνια, ένα χρησιμοποιώντας τα F και R σύμβολα καθώς και τους κανόνες σύντηξης και ένα άλλο με ζεύγη ροών. Εργαζόμαστε με τα Fibonacci και Ising μοντέλα ανυονίων, όπου τα πρώτο θεωρείται ως το ιδανικό μοντέλο για υπολογιστική. Επίσης, υποδεικνύουμε την δυσκολία κατασκευής γνωστών πυλών μέσα στο D(D5). Στο τρίτο και τελευταίο μέρος, δίνουμε δύο παραδείγματα καθολικής κβαντικής υπολογιστικής, ένα με qutrit κωδικοποίηση στο D(S3) και ένα άλλο χρησιμοποιώντας ζεύγη ροών με τέλειες απλές ομάδες. Σημειώνουμε στα συμπεράσματα ότι τα δίεδρα ανυόνια έχουν την δυνατότητα κατασκευής ενός καθολικού συνόλου πυλών αλλά ο τρόπος να υλοποιηθεί αυτό είναι πέραν του σκοπού αυτής της εργασίας.This master's thesis is divided in three main parts. In the first part, we present the two fundamental transformations between anyons, Flux metamorphosis and Aharonov-Bohm effect. We introduce the braid group, its defining relations and its representation via the quantum double. Then, we construct the quantum double for the dihedral group D5, specify the modular generators of the theory (S and T matrices) and give a simple example of anyon scattering. In the second part, we focus on the quantum computational aspect of groups/models, with the goal to derive universal quantum computation. We define the encoding of a qubit in the fusion space and then we construct the generators of the braid group for various anyon models, including D(D5). We establish general protocols of encoding and processing information with anyons, one using F and R-symbols as well as the fusion rules and another one with pairs of fluxes. We work with Fibonacci and Ising anyon models, where the former is considered as the ideal model for computing. We also point out the difficulty to construct known gates inside D(D5). In the third and final part, we give two examples of universal quantum computation, one with qutrit encoding in D(S3) and another one using pair of fluxes with simple perfect groups. We note in the conclusions that dihedral anyons have the potential of constructing a universal gate set but the way to illustrate this is beyond the purpose of this thesis